Question

如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于H，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC＝DE，OB＝，AB＝5．

（1）求证：∠AOB＝2∠ADC．

（2）求AE长．

Answer

（1）详见解析；（2）AE＝

【解析】

（1）根据垂径定理可得，可得∠AOC=∠AOB，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ADC；
（2）由题意可证AB=BE=5，根据勾股定理可求AH=3，即可求EH的长，根据勾股定理可得AE的长．

证明：（1）如图，连接OC，

∵OA⊥BC，

∴，

∴∠AOC＝∠AOB，

∵∠AOC＝2∠ADC，

∴∠AOB＝2∠ADC

（2）∵DC＝DE

∴∠DCE＝∠DEC

∵∠DCE＝∠DAB，∠DEC＝∠AEB，

∴∠AEB＝∠DAB，

∴AB＝BE＝5

∵AH2+BH2＝AB2，OH2+BH2＝OB2，

∴AB2﹣AH2＝BH2＝OB2﹣（AO﹣AH）2，

∴，

∴AH＝3，

∴BH＝4，

∴EH＝BE﹣BH＝1，

∴AE＝＝