Question

（1）如图1，△AEC中，∠E＝90°，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，AC与AB对应，AE与AD对应

①请证明△ABC为等边三角形；

②如图2，BD所在的直线为b，分别过点A、C作直线b的平行线a、c，直线a、b之间的距离为2，直线a、c之间的距离为7，则等边△ABC的边长为　   　．

（2）如图3，∠POQ＝60°，△ABC为等边三角形，点A为∠POQ内部一点，点B、C分别在射线OQ、OP上，AE⊥OP于E，OE＝5，AE＝2，求△ABC的边长．

Answer

（1）①详见解析；②；（2）.

【解析】

（1）由旋转的性质可得：AB＝AC，∠BAC＝60°，即可证△ABC为等边三角形；

（2）过点E作EG⊥直线a，延长GE交直线c于点H，可得GH＝7，AD＝2，由旋转的性质可得AD＝AE＝2，∠DAE＝60°，可求GE＝1，EH＝6，由锐角三角函数可求CE＝4，根据勾股定理可求等边△ABC的边AC的长；

（3）过点A作∠AHO＝60°，交OQ于点G，交OP于点H，根据特殊三角函数值可求AH＝4，通过证明△OBC≌△HCA，可求AH＝OC＝4，CE＝1，根据勾股定理可求△ABC的边AC的长．

【解析】
（1）∵将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC为等边三角形．

（2）过点E作EG⊥直线a，延长GE交直线c于点H，

∵a∥b∥c，

∴EH⊥直线c，

∵直线a、c之间的距离为7，

∴GH＝7

∵将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，

∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠DAE＝60°，

∵直线a、b之间的距离为2，

∴AD＝2＝AE，

∵∠GAE＝∠GAD﹣∠DAE＝90°﹣60°＝30°，

∴GE＝AE＝1，∠AEG＝60°，

∴EH＝7﹣1＝6，

∵∠CEH＝180°﹣∠AEC﹣∠AEG，

∴∠CEH＝30°，

∴cos∠CEH＝，

∴CE＝4

在Rt△ACE中，AC＝＝＝2，

故答案为：2

（3）过点A作∠AHO＝60°，交OQ于点G，交OP于点H，

∵AE⊥OP，∠AHO＝60°

∴sin∠AHO＝

∴AH＝4

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠POQ，

∵∠POQ+∠OBC+∠OCB＝180°，∠ACB+∠OCB+∠ACH＝180°，

∴∠ACH＝∠OBC，且BC＝AC，∠O＝∠AHC＝60°，

∴△OBC≌△HCA（AAS）

∴AH＝OC＝4，

∴CE＝OE﹣OC＝5﹣4＝1，

在Rt△ACE中，AC＝＝＝，

∴△ABC的边长为．