Question

已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在二次函数y=x²+mx+n的图象上，当x₁=1，x₂=3时，y₁=y₂．

（1）①求m的值；②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值；

（2）若P（a，b₁），Q（3，b₂）是函数图象上的两点，且b₁＞b₂，求实数a的取值范围．

Answer

（1）m=-4；n=4；（2）实数a的取值范围为a＜1或a＞3．

【解析】

试题（1）①利用当x1=1，x2=3时函数值相等得到1+m+n=9+3m+n，然后解关于m的方程即可得到m的值；

②根据△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到16-4n=0，然后解关于n的方程即可；

（2）讨论：当P（a，b1），Q（3，b2）在对称轴的右侧，利用二次函数的性质易得a＞3时，b1＞b2；当P（a，b1），Q（3，b2）在对称轴的两侧，通过比较两点到对称轴的距离的大小可判断a＜1时，b1＞b2．

试题解析：（1）①∵x1=1，x2=3时，y1=y2，

∴1+m+n=9+3m+n，

∴m=-4；

②∵抛物线与x轴只有一个公共点，

∴△=m2-4n=0，即16-4n=0，

∴n=4；

（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴当P（a，b1），Q（3，b2）在对称轴的右侧，则a＞3时，b1＞b2；

当P（a，b1），Q（3，b2）在对称轴的两侧，而当x1=1，x2=3时，y1=y2，则a＜1时，b1＞b2．

∴实数a的取值范围为a＜1或a＞3．