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已知:如图,在正方形ABCD中,点E为边AB的中点,联结DE,点F在DE上CF=...

已知:如图,在正方形ABCD中,点E为边AB的中点,联结DE,点F在DE上CF=CD,过点F作FG⊥FC交AD于点G.

(1)求证:GF=GD;

(2)联结AF,求证:AF⊥DE.

 

(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】 根据等角的余角相等得到即可证明. 联结CG.证明△DAE≌△CDG,得到.进而得到,根据等边对等角得到根据三角形的内角和可以求出∠AFD= 90°,即可证明. ∵四边形是正方形,∴, ∵FG⊥FC, ∴∠GFC= 90°, ∵ ∴∠CDF=∠CFD , ∴∠GFC-∠CFD=∠ADC-∠CDE,即∠GFD=∠GDF. ∴GF=GD. 联结CG. ∵ ∴点在线段的中垂线上, ∴GC⊥DE, ∴∠CDF+∠DCG= 90°, ∵∠CDF+∠ADE= 90°, ∴∠DCG=∠ADE. 四边形是正方形, ∴AD=DC,∠DAE=∠CDG= 90°, ∴△DAE≌△CDG, ∴. 点是边的中点, 点是边的中点, ∴, ∴ ∵ ∴ ∴∠AFD= 90°,即AF⊥DE.
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