Question

如图，已知二次函数y＝﹣x²+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；

（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）S=﹣m2+m+（1≤m＜3）；（3）线段BM上存在点N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC为等腰三角形.

【解析】

【解析】
（1）∵OB=OC=3，

∴B（3，0），C（0，3）

∴,

解得,

∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，M（1， 4）

设直线MB的解析式为y=kx+n，

则有,

解得,

∴直线MB的解析式为y=﹣2x+6,

∵PQ⊥x轴，OQ=m，

∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）

S四边形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=AO•CO+（PQ+CO）•OQ（1≤m＜3）

=×1×3+（﹣2m+6+3）•m=﹣m2+m+；

（3）线段BM上存在点N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC为等腰三角形,

CM=，CN=，MN=

①当CM=NC时，，

解得x1=，x2=1（舍去）

此时N（，），

②当CM=MN时，，

解得x1=1+，x2=1-舍去），

此时N（1+，4﹣）.

③当CN=MN时，,

解得x=2，此时N（2，2）．