Question

以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．

（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；

（2）延长BD交CE于点F，试求∠BFC的度数；

（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．

Answer

（1）CE=BD，理由见解析；（2）90°；（3）成立，理由见解析

【解析】

试题（1）根据SAS证明△EAC与△DAB全等，再利用全等三角形的性质解答即可；

（2）利用全等三角形的性质得出∠ECA=∠DBA，进而解答即可；

（3）根据（1）（2）中的证明步骤解答即可．

【解析】
（1）CE=BD，理由如下：

∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，

∴AE=AD，AC=AB，

在△EAC与△DAB中，

，

∴△EAC≌△DAB（SAS），

∴CE=BD；

（2）∵△EAC≌△DAB，

∴∠ECA=∠DBA，

∴∠ECA+∠CBF=∠DBA+∠CBF=45°，

∴∠ECA+∠CBF+∠DCB=45°+45°=90°，

∴∠BFC=180°﹣90°=90°；

（3）成立，

∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，

∴AE=AD，AC=AB，

在△EAC与△DAB中，

，

∴△EAC≌△DAB（SAS），

∴CE=BD；

∵△EAC≌△DAB，

∴∠ECA=∠DBA，

∴∠ECA+∠CBF=∠DBA+∠CBF=45°，

∴∠ECA+∠CBF+∠DCB=45°+45°=90°，

∴∠BFC=180°﹣90°=90°．