Question

如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，点是轴上一动点，于点，点的坐标为.

（1）求直线的解析式；

（2）若，求点的坐标；

（3）当在轴负半轴时，连接、，分别取、的中点、，连接EF交PQ于点G，当OQ//BP时，求证：.

Answer

（1）；（2）点的坐标为或；（3）见解析.

【解析】

（1）根据待定系数法得出解析式即可,
（2）分两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可,
（3）连接QE，OE，利用相似三角形的判定和性质解答即可.

【解析】
（1）∵直线经过点，

∴,

∴直线的解析式为.

（2）在中，令，则，

∴，

由（1）得：，，

在中，由勾股定理得：,

∵，∴,

①当点在轴的左侧时，如图1，

∵，，

∴，

又，

∴，

∴，

∴，

解得：，

∴，

∴点的坐标为.

②当点在轴的右侧时，

同①可得：，

∴，

∴点的坐标为.

综上，点的坐标为或.

（3）解法一：如图2，连接、.

在中，是斜边边上的中线，

∴，同理，，

∴，即是等腰三角形.

又是的中线，

∴，

∴，

∵，

∴，

又，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴.

解法二：如图3，连接、.

在中，是斜边边上的中线，

∴，同理，，

∴，即是等腰三角形，

又是的中线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

延长至点，使得：，连接、，

∵为的垂直平分线，

∴，

∴①，

∵是的中点，，

∴为的垂直平分线，

∴，

∴②，

由①②可得：，又，

∴，

∴，

即，

又，

∴.