Question

如图，在正方形中，，点、分别是、边上的动点．

（1）AC等于多少；

（2）若，且点关于的对称点落在边上，求的值；

（3）设，直线交直线于点，求与面积之和的最小值．（用含的代数式表示）

Answer

（1）；（2）；（3）当时，与面积之和的最小值为.

【解析】

（1）由正方形的性质可得对角线的长,
（2）由点A与点A′关于PQ对称知△APQ与△A′PQ关于PQ对称，再证∠PA′D=∠A′QC，由AB=4，AP=3PD得PD=1，AP=PA′=3，A′D=2，利用正切函数的定义即可得答案,
（3）过点Q作直线MN⊥AD于点M，交BC于点N，则MN⊥BC，证△APQ∽△CTQ得=，设QM=h，则QN=4-h，CT=，继而知S=ah+•（4-h），整理得ah2-（4a+S）h+8a=0，根据方程有实数根得（4a+S）2≥32a2，结合4a+S＞0知S≥（4 -4）a，最后根据S=（4-4）a时可得h=2．

【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，且AB=4，
∴AB=BC=4，∠BAC=∠ACB=45°，
∴AC===,

（2）如图1，

∵点与点关于对称，

∴与关于对称，

∴，，

∵，

，

∴,

∵，，

∴，，

在中，由勾股定理得：，

∴.

（3）如图2，过点作直线于点，交于点，则.

∵，

∴，

∴，

设，则，

∴，∴，

∴，

∴，

整理得：，

∵关于的一元二次方程有实根，∴，

∴，

，又，

∴，

∴，

当时，由方程可得 满足题意，

故当时，与面积之和的最小值为.