Question

如图，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且 AP＝AC．

（1）    求证：PA 是⊙O 的切线；

（2）    若 AB＝4+，BC＝2 ，求⊙O 的半径．

Answer

(1)详见解析；（2）⊙O的半径为．

【解析】

试题（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；

（2）过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2，于是得到BE=BC=，CE=3，根据勾股定理得到AC==5，于是得到AP=AC=5．解直角三角形即可得到结论．

试题解析：（1）证明：连接OA，

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

又∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切线；

（2）【解析】
过点C作CE⊥AB于点E．

在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2，

∴BE=BC=，CE=3，

∵AB=4+，

∴AE=AB﹣BE=4，

∴在Rt△ACE中，AC==5，

∴AP=AC=5．

∴在Rt△PAO中，OA=，

∴⊙O的半径为．