Question

已知线段AB＝8（点A在点B的左侧）

（1）若在直线AB上取一点C，使得AC＝3CB，点D是CB的中点，求AD的长；

（2）若M是线段AB的中点，点P是线段AB延长线上任意一点，请说明PA+PB﹣2PM是一个定值．

Answer

（1）AD的长为7或10；（2）PA+PB﹣2PM是一个定值0．说明见解析

【解析】

（1）①当点C在线段AB上时，如图1，②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，③当点C在BA的延长线上时，明显，次情况不存在；列方程即可得到结论；

（2）如图3，设BP＝x，则PA＝AB+BP＝8+x，PM＝AB+BP＝4+x，代入PA+PB﹣2PM即可得到结论．

（1）①当点C在线段AB上时，如图1，

∵AC＝3BC，

设BC＝x，则AC＝3x，

∵AB＝AC+BC，

∴8＝3x+x，

∴x＝2，

∴BC＝2，AC＝6，

∵点D是CB的中点，

∴CD＝BD＝BC＝1，

∴AD＝AC+CD＝6+1＝7；

②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，

设BC＝x，AC＝3BC＝3x，

∵AB＝AC﹣BC＝2x＝8，

∴x＝4，

∴BC＝4，AC＝12，AB＝8，

∵点D是CB的中点，

∴BD＝CD＝BC＝2，

∴AD＝AB+BD＝8+2＝10；

③当点C在BA的延长线上时，明显，次情况不存在；

综上所述，AD的长为7或10；

（2）如图3，

设BP＝x，则PA＝AB+BP＝8+x，PM＝AB+BP＝4+x，

∴PA+PB﹣2PM＝8+x+x﹣2（4+x）＝0，

∴PA+PB﹣2PM是一个定值0．