Question

如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E,F分别是边AB,AC的中点，且EF∥BC.

（1）试说明△AEF是等腰三角形；

（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由.

Answer

见解析

【解析】试题（1）首先利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，再结合平行线的性质得到∠AEF=∠AFE，利用等角对等边即可证得；

（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得AD是线段EF的垂直平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质即可证得．

试题解析：（1）∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C．

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形；

（2）DE=DF．理由如下：

∵AD是等腰三角形ABC的底边上的高，

∴AD也是∠BAC的平分线，

又∵△AEF是等腰三角形，

∴AG是底边EF上的高和中线，

∴AD⊥EF，GE=GF，

∴AD是线段EF的垂直平分线，

∴DE=DF．