Question

一直角三角形放置在如图所示的平面直角坐标系中,直角顶点C刚好落在反比例函数y=的图象的一支上,两直角边分别交y、x轴于A、B两点.当CA=CB时,四边形CAOB的面积为(    )

A. 4    B. 8    C. 2    D.

Answer

B

【解析】

作CE垂直x轴于点E，AF⊥CE于点F，CM垂直于y轴于点M，AC交x轴于点N，求出△AFC≌△CEB得到AF=CE=2，再利用四边形CAOB的面积=正方形MOEC的面积即可得答案．

作CE垂直x轴于点E，AF⊥CE于点F，CM垂直于y轴于点M，AC交x轴于点N，

∵∠NOA=∠NCB=90°，∠ANO=∠BNC，

∴△ANO∽△CNB，

∴∠NAO=∠NBC，

又∵AO∥CE，

∴∠NAO=∠ACF，

∴∠ACF=∠NBC，即∠ACF=∠EBC

∵∠AFC=∠CEB=90°，AC=CB，∠ACF＝∠EBC，

∴△AFC≌△CEB（AAS）

∵四边形MAFC是矩形，

∴△AFC≌△MAC，

∴△CEB≌△MAC，

∴S△CEB=S△MAC，

∴AF=CE，

∵AF=CM

∴CM=BE

∴C点的横坐标与纵坐标相等，

∵点C在反比例函数y=的图像上，

∴AF×CE=8，

∴AF=CE=2

∵S四边形CAOB=S四边形CAOE+S△CEB= S四边形CAOE+S△MAC=S正方形MOEC=(2)2=8.

故选B.