Question

如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,∠COB=2∠PCB.

(1)求证:PC是☉O的切线;

(2)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若MN·MC=8,求☉O的直径.

Answer

（1）由题意得到半径OC⊥PC, ∴PC是⊙O的切线（2）AB=4

【解析】

试题分析（1）：因为同圆中半径相等，得到相等的角，直径所对的圆周角为90°，再由已知，经过等量代换，半径与直线垂直。（2）连接AM，BM.由题意易得△ANC∽△NMA,由已知一边的长为8，根据相似三角形的相似比求之。注意的是；相似比找准对应边。通过角找边容易。1）证明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO.

∴∠COB=2∠ACO.

又∵∠COB=2∠PCB，

∴∠ACO =∠PCB. ........................................................ 1分

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO +∠OCB="90" .

∴∠PCB +∠OCB="90，" 即OC⊥CP.

∵OC是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线. ………………………2分

（2）【解析】
连接MA、MB.（如图）

∵点M是弧AB的中点，

∴∠ACM=∠BAM.

∵∠AMC=∠AMN，

∴△AMC∽△NMA. …………………………3分

∴.

∴.

∵=8，

∴. ............................................................. 4分

∵AB是⊙O的直径，点M是弧AB的中点，

∴∠AMB=90，AM=BM=.

∴. 5分