Question

某厂家生产一种产品,月初需要一次性投资25 000元,每生产一件产品需增加投入100元.设x(件)是月生产量,y(元)是销售完x件产品所得的总销售额,y与x的关系如图中的图象所示,图象中从点O到点A的部分是抛物线的一部分,且点A是抛物线的顶点,点A后面的部分与x轴平行.

(1)求y关于x的函数关系式;

(2)设月纯利润为z,求z关于x的函数关系式;

(3)当月产量为多少件时,厂家所获利润最大?最大利润为多少元?

Answer

（1）y=（2）z=;(3) 当月产量为300台时,利润最大,最大利润为20 000元

【解析】

（1）根据顶点坐标设二次函数的解析式为y=a(x-400)2+80000，把O（0，0）代入可求出a的值，即可得时y关于x的函数关系式，由点A后面的部分与x轴平行可得x>400时y关于x的函数关系式；（2）根据月纯利润=总销售额-月初投资-产品成本即可得出答案；（3）分别计算x>400时和时利润的最大值即可.

（1）当时，设函数解析式为y=a(x-400)2+80000，

∵图像经过O（0，0），

∴a(x-400)2+80000=0，

解得：a=-，

∴时y关于x的函数关系式为y=-(x-400)2+80000=-x2+400x.

∵当x>400时，点A后面的部分与x轴平行，

∴x>400时y关于x的函数关系式为y=80000.

∴y关于x的函数关系式为：y=.

（2）∵月纯利润=总销售额-月初投资-产品成本，

∴z=y-25000-100x，

当0≤x≤400时，z=-x2+400x-25000-100x=-x2+300x-25000,

当x>400时，z=80000-25000-100x=-100x+55000，

∴z关于x的函数关系式为z=

(3)当x>400时,z<-100×400+55000=15000(元)；

当0≤x≤400时,z=-x2+300x-25000=-(x-300)2+20000.

所以，当x=300时，z最大=20000(元).

答:当月产量为300台时,利润最大,最大利润为20000元.