Question

如图,矩形纸片ABCD,P是AB的中点,Q是BC上一动点,△BPQ沿PQ折叠,点B落在点E处,延长QE交AD于M点,连接PM.

(1)求证:△PAM≌△PEM;

(2)当DQ⊥PQ时,将△CQD沿DQ折叠,点C落在线段EQ上点F处.

①求证:△PAM∽△DCQ;

②如果AM=1,sin∠DMF=,求AB的长.

Answer

(1)见解析；（2）①见解析，②6

【解析】

（1）由矩形的性质及折叠的性质可得PE=PB，∠PEM=∠B=90°，由P点为AB中点可得PA=PB=PE，因为有公共边PM，所以利用HL即可证明△PAM≌△PEM；（2）①由（1）可得∠APM=∠EPM，根据折叠性质可得∠EPQ=∠BPQ，由∠B=90°，DQ⊥PQ可得∠BPQ+∠PQB=90°，∠PQB+∠DQC=180°-∠PQD=90°.进而可证明∠AMP=∠DQC，即可证明△PAM∽△DCQ；②设AP=x，则BP=AP=EP=x，AB=DC=2x，根据△AMP∽△BPQ可得BQ=x2，根据△AMP∽△CQD得CQ=2，进而可得AD=x2+2，根据sin∠DMF=列方程即可求出x的值，根据AB=2AP即可得答案.

(1)∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠B=90°，根据折叠的性质可知：PE=PB，∠PEM=∠B=90°；

∵P点为AB中点，

∴PA=PB=PE.

又∵PM=PM，

∴△PAM≌△PEM.

(2)①由(1)知△PAM≌△PEM,

∴∠APM=∠EPM.

根据折叠的性质可知:∠EPQ=∠BPQ,

∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°,

∵∠APM+∠AMP=90°，

∴∠BPQ=∠AMP，

∵∠B=90°，DQ⊥PQ,

∴∠BPQ+∠PQB=90°，∠PQB+∠DQC=180°-∠PQD=90°.

∴∠BPQ=∠DQC，

∴∠AMP=∠DQC.

又∵∠A=∠C=90°，

∴△AMP∽△CQD.

②设AP=x，则BP=AP=EP=x，AB=DC=2x，

∵由①知∠BPQ=∠AMP，∠A=∠B=90°，

∴△AMP∽△BPQ.

∴，即BQ=x2.

由△AMP∽△CQD得：，即CQ=2.

AD=BC=BQ+CQ=x2+2.

∵在Rt△FDM中，sin∠DMF=，DF=DC=2x，

∴，

变形得：3x2-10x+3=0,

解方程得：x1=3，x2=(不合题意，舍去)

∴AB=2x=6.