Question

如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．

（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；

（2）填空：

①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是　   　；

②若AB=2，当∠CAB的度数为　   　时，四边形DEFG是正方形．

Answer

（1）详见解析；（2）①；②75°或15°．

【解析】

（1）只要证明DG=EF，DG∥EF即可解决问题；

（2）①只要证明四边形DEFG是矩形即可解决问题；

②分点C在优弧AB或劣弧AB上两种情况讨论即可.

【解析】
（1）四边形DEFG是平行四边形．

∵点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点，

∴DG∥AB，DG=AB，EF∥AB，EF=AB，

∴DG∥EF，DG=EF，

∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）①连接OC，

∵CA=CB，

∴，

∴DG⊥OC，

∵AD=DC，AE=EO，

∴DE∥OC，DE=OC=1，同理EF=AB=，

∴DE⊥DG，

∴四边形DEFG是矩形，

∴四边形DEFG的面积=．

故答案为；

②∵OA=OB=AB=2，

∴△AOB为等边三角形，

由①可得：当C是优弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠C=∠AOB=30°，则∠CAB=75°；

当C是劣弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠C=(360°﹣∠AOB)=150°，则∠CAB=15°；

故答案为75°或15°．