Question

如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图形交于A（a，4）和B（4，1）两点．

（1）求b，k的值；

（2）在第一象限内，当一次函数y=﹣x+b的值大于反比例函数y=的值时，直接写出自变量x的取值范围；

（3）将直线y=﹣x+b向下平移m个单位，当直线与双曲线只有一个交点时，求m的值．

Answer

（1）b=5，k=4；（2）1＜x＜4；（3）m=9或1．

【解析】

（1）将B点坐标分别代入一次函数与反比例函数即可得解；

（2）先求得A点坐标，然后运用数形结合思想，根据图象中，直线与双曲线的上下位置关系，即可得到自变量x的取值范围；

（3）设将直线y=﹣x+5向下平移m个单位后解析式为y=﹣x+5﹣m，依据题意得﹣x+5﹣m=只有一个解，可得△=（m﹣5）2﹣16=0，然后求解可得m的值．

【解析】
（1）∵直线y=﹣x+b过点 B（4，1），

∴1=﹣4+b，

解得b=5；

∵反比例函数y=的图象过点 B（4，1），

∴k=4；

（2）由（1）可得一次函数解析式为：y=﹣x+5，

当y=4时，4=﹣x+5，即x=1，

∴A点坐标为（1，4），

则由图可得，在第一象限内，当一次函数y=﹣x+b的值大于反比例函数y=的值时，1＜x＜4；

（3）设将直线y=﹣x+5向下平移m个单位后解析式为y=﹣x+5﹣m，

∵直线y=﹣x+5﹣m与双曲线y=只有一个交点，

令﹣x+5﹣m=，

整理得x2+（m﹣5）x+4=0，

∴△=（m﹣5）2﹣16=0，

解得m=9或1．