Question

如图，以x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A，点B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，4），作直线AC．

（1）求抛物线解析式；

（2）点P在抛物线的对称轴上，且到直线AC和x轴的距离相等，设点P的纵坐标为m，求m的值；

（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点Q为第一象限内抛物线上一点，若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标．

Answer

（1）y=﹣x2+x+4；（2）m的值为1或﹣4；（3）点Q的坐标为（1，）或（， ）．

【解析】

（1）先利用抛物线的对称性得到A（3，0），则可设交点式y=a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a即可；

（2）先利用待定系数法其出直线AC的解析式为y=﹣x+4；令对称轴与直线AC交于点D，与x轴交于点E，作PH⊥AD于H，如图1，易得D（1，），利用勾股定理计算出AD=，设P（1，m），则PD=﹣m，PH=PE=|m|，证明△DPH∽△DAE，利用相似比得到，然后解方程可得到m的值；

（3）设Q（t，﹣x2+x+4）（0＜t＜4），讨论：当CM为对角线时，四边形CQMN为菱形，如图2，根据菱形的性质判定点N和Q关于y轴对称，则N（﹣t，﹣x2+x+4），然后把N（﹣t，﹣x2+x+4）代入y=﹣x+4得t的方程，从而解方程求出t得到此时Q点坐标；当CM为菱形的边时，四边形CNQM为菱形，如图3，利用菱形的性质得NQ∥y轴，NQ=NC，则N（t，﹣t+4），所以NQ=﹣t2+4t，再根据两点间的距离公式计算出CN=t，所以﹣t2+4t=t，从而解方程求出t得到此时Q点坐标．

【解析】
（1）∵点A与点B（﹣1，0）关于直线x=1对称，

∴A（3，0），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，4）代入得a•1•（﹣3）=4，解得a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+x+4；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+p，

把A（3，0），C（0，4）代入得，解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4；

令对称轴与直线AC交于点D，与x轴交于点E，作PH⊥AD于H，如图1，

当x=1时，y=﹣x+4=，则D（1，），

∴DE=，

在Rt△ADE中，AD==，

设P（1，m），则PD=﹣m，PH=PE=|m|，

∵∠PDH=∠ADE，

∴△DPH∽△DAE，

∴，即，解得m=1或m=﹣4，

即m的值为1或﹣4；

（3）设Q（t，﹣t2+t+4）（0＜t＜4），

当CM为对角线时，四边形CQMN为菱形，如图2，则点N和Q关于y轴对称，

∴N（﹣t，﹣ t2+t+4），

把N（﹣t，﹣t2+t+4）代入y=﹣x+4得t+4=﹣t2+t+4，解得t1=0（舍去），t2=1，此时Q点坐标为（1，）；

当CM为菱形的边时，四边形CNQM为菱形，如图3，则NQ∥y轴，NQ=NC，

∴N（t，﹣t+4），

∴NQ=﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，

而CN2=t2+（﹣t+4﹣4）2=t2，即CN=t，

∴﹣t2+4t=t，解得t1=0（舍去），t2=，此时Q点坐标为（，），

综上所述，点Q的坐标为（1，）或（，）．