Question

如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．

（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为___________，数量关系为___________

②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．

（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动。探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由．

Answer

（1）①垂直，相等．②都成立，理由见解析；（2）45°，理由见解析

【解析】

试题（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；
②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；
（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．

试题解析：

解（1）：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．
理由：如图1，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
又 BA=CA，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD．
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD．
故答案为：垂直，相等；

②都成立，理由如下：

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△DAB与△EAC中，

∴△DAB≌△EAC，

∴CE＝BD，∠B＝∠ACE，

∴∠ACB＋∠ACE＝90°，即CE⊥BD；

（2）当∠ACB＝45°时，CE⊥BD（如图）．

理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，

∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，

∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，

∴∠ACB＝∠AGC＝45°，

∴AC＝AG，

在△GAD与△CAE中，

∴△GAD≌△CAE，

∴∠ACE＝∠AGC＝45°，

∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝45°＋45°＝90°，即CE⊥BC．