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已知:关于x的方程x2﹣(k+2)x+2k=0 (1)求证:无论k取任何实数值,...

已知:关于x的方程x2﹣(k+2x+2k0

1)求证:无论k取任何实数值,方程总有实数根;

2)若等腰三角形ABC的一边长a1,另两边长bc恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.

 

(1)详见解析;(2)△ABC的周长为5. 【解析】 (1)先计算出△=(k+2)2﹣4•2k=(k﹣2)2,然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况; (2)分类讨论:当b=c时,△=0,则k=2,再把k代入方程,求出方程的解,然后计算三角形周长;当b=a=1或c=a=1时,把x=1代入方程解出k=1,再解此时的一元二次方程,然后根据三角形三边的关系进行判断. (1)证明:△=(k+2)2﹣4•2k=(k﹣2)2, ∵(k﹣2)2≥0,即△≥0, ∴无论取任何实数值,方程总有实数根; (2)【解析】 当b=c时,△=(k﹣2)2=0,则k=2, 方程化为x2﹣4x+4=0,解得x1=x2=2, ∴△ABC的周长=2+2+1=5; 当b=a=1或c=a=1时, 把x=1代入方程得1﹣(k+2)+2k=0,解得k=1, 方程化为x2﹣3x+2=0,解得x1=1,x2=2, 不符合三角形三边的关系,此情况舍去, ∴△ABC的周长为5. 故答案为:(1)详见解析;(2)△ABC的周长为5.
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