Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3）。

设抛物线解析式为，

将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即。

∴抛物线解析式为即。

（2）设直线AC解析式为（k≠0），

将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：。

∴直线AC解析式为。

与抛物线解析式联立得：，解得：或。

∴点D坐标为（1，）。

（3）存在，分两种情况考虑：

①当点M在x轴上方时，如图1所示：

四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，

由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，

∴N1（2，0），N2（6，0）。

②当点M在x轴下方时，如图2所示：

过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，

∴MP=DQ=，NP=AQ=3。

将yM=代入抛物线解析式得：

，

解得：xM=或xM=。

∴xN=xM－3=或，

∴N3（，0），N4（，0）。

综上所述，满足条件的点N有四个：

N1（2，0），N2（6，0），N3（，0），N4（，0）。

【解析】

试题（1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；。

（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标。

（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得△ADQ≌△NMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，将y=代入得：，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN求出ON的长即可确定出N坐标。