Question

如图，点A，B，C都在抛物线y=ax²﹣2amx+am²+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．

（1）填空：抛物线的顶点坐标为      （用含m的代数式表示）；

（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；

（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．

Answer

（1）（m，2m﹣5）；（2）S△ABC =﹣；（3）m的值为或10+2．

【解析】（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解；

（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，由AB∥x轴且AB＝4，可得出点B的坐标为（m＋2，4a＋2m−5），设BD＝t，则点C的坐标为（m＋2＋t，4a＋2m−5−t），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值，再利用三角形的面积公式即可得出S△ABC的值；

（3）由（2）的结论结合S△ABC＝2可求出a值，分三种情况考虑：①当m＞2m−2，即m＜2时，x＝2m−2时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当2m−5≤m≤2m−2，即2≤m≤5时，x＝m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值；③当m＜2m−5，即m＞5时，x＝2m−5时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值．综上即可得出结论．

（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5，

∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5），

故答案为：（m，2m﹣5）；

（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示，

∵AB∥x轴，且AB=4，

∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5），

∵∠ABC=135°，

∴设BD=t，则CD=t，

∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t），

∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，

∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，

整理，得：at2+（4a+1）t=0，

解得：t1=0（舍去），t2=﹣，

∴S△ABC=AB•CD=﹣；

（3）∵△ABC的面积为2，

∴﹣=2，

解得：a=﹣，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5．

分三种情况考虑：

①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2，

整理，得：m2﹣14m+39=0，

解得：m1=7﹣（舍去），m2=7+（舍去）；

②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，解得：m=；

③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2，

整理，得：m2﹣20m+60=0，

解得：m3=10﹣2（舍去），m4=10+2．

综上所述：m的值为或10+2．