Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴∠NMC=180°—∠AMN­—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．

（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD……X”，请你作出猜想：当∠AMN=                                          °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

Answer

（1）证明略

（2）理由略

（3）

【解析】【解析】
（1）∵AE=MC，∴BE=BM， ∴∠BEM=∠EMB=45°， ∴∠AEM=135°，

   ∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°

   在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

 （2）仍然成立．

  在边AB上截取AE=MC，连接ME

  ∵△ABC是等边三角形，

  ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，

  ∴∠ACP=120°．

  ∵AE=MC，∴BE=BM

  ∴∠BEM=∠EMB=60°

  ∴∠AEM=120°．

  ∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，

  ∴∠AEM=∠MCN=120°

  ∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM

  ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

 （3）