Question

如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．

(1)求∠BOD的度数；

(2)将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒(0≤t≤40)．

①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；

②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．

Answer

(1)∠BOD＝60°；(2)当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；②t的值为12s或36s．

【解析】

（1）依据∠COE＝60°，OA平分∠COE，可得∠AOC＝30°，再根据∠AOB＝90°，即可得到∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；

（2）①分两种情况进行讨论：当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°；当OF平分∠AOB时，AOF＝45°；分别依据角的和差关系进行计算即可得到t的值；

②分两种情况进行讨论：当OE平分∠BOD时，∠BOE＝∠BOD；当OF平分∠BOD时，∠DOF＝∠BOD；分别依据角的和差关系进行计算即可得出t的值．

(1)∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，

∴∠AOC＝30°，

又∵∠AOB＝90°，

∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；

(2)①分两种情况：

当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，

即9t+30°﹣3t＝45°，

解得t＝2.5；

当OF平分∠AOB时，AOF＝45°，

即9t﹣150°﹣3t＝45°，

解得t＝32.5；

综上所述，当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；

②t的值为12s或36s．

分两种情况：

当OE平分∠BOD时，∠BOE＝∠BOD，

即9t﹣60°﹣3t＝(60°﹣3t)，

解得t＝12；

当OF平分∠BOD时，∠DOF＝∠BOD，

即3t﹣(9t﹣240°)＝(3t﹣60°)，

解得t＝36；

综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．

故答案为：(1)∠BOD＝60°；(2)当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；②t的值为12s或36s．