Question

点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若AI=2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC=6，ID=5，则IE的长为_____．

Answer

4

【解析】

由已知条件可得到ID=BD=DC,可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DF⊥IC与点F，可得四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF,即可求出IE的长.

【解析】

如图：I为△ABC的内心,可得∠BAD=∠CAD,BD=CD,

又∠DIC=∠DAC+∠ACI,∠ICD=∠ICB+∠BCD

其中∠DAC=∠BAD=∠BCD，∠ACI=∠ICB，

∠DIC=∠ICD

ID=CD, ID=BD=DC=5, 可得AI=2CD=10

可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DF⊥IC与点F,

可得IF=FC(垂经定理)，

在RT△IFD中，,

又在△AIC中，AE=EC, IF=FC,

EF为△AIC的中位线，

EF∥AD,即EF∥ID, 且EF==5=ID,

四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF=4,

故答案：4.