Question

如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．

Answer

（1）见解析；（2）+

【解析】

（1）利用题中的边的关系可求出△OAC是正三角形，然后利用角边关系又可求出∠CAB=30°，从而求出∠OAB=90°，所以判断出直线AB与⊙O相切；

（2）作AE⊥CD于点E，由已知条件得出AC=2，再求出AE=CE，根据直角三角形的性质就可以得到AD．

（1）直线AB是⊙O的切线，理由如下：

连接OA．

∵OC=BC，AC=OB，

∴OC=BC=AC=OA，

∴△ACO是等边三角形，

∴∠O=∠OCA=60°，

又∵∠B=∠CAB，

∴∠B=30°，

∴∠OAB=90°．

∴AB是⊙O的切线．

（2）作AE⊥CD于点E．

∵∠O=60°，

∴∠D=30°．

∵∠ACD=45°，AC=OC=2，

∴在Rt△ACE中，CE=AE=；

∵∠D=30°，

∴AD=2．