Question

如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数(x<0)的图象交于点C，点D(3，a)在直线y=﹣x+2上，连接OD，OC，若∠COD=135°，则k的值为(   )

A. ﹣2    B. ﹣4    C. ﹣6    D. ﹣8

Answer

D

【解析】

作CH⊥y轴于H，如图，先利用一次函数解析式确定B（0，2）、A（2，0），D（3，-1），则AD=，再证明△OAB为等腰直角三角形得到∠OAB=∠ABO=45°，接着证明△OBC∽△DAO，则利用相似比得到BC=2，于是利用△BCH为等腰直角三角形求出CH=BH=BC=2，从而得到C（-2，4），然后根据反比例函数图象上点的坐标确定k的值．

【解析】
作CH⊥y轴于H，如图，

当x=0时，y=-x+2=2，则B（0，2）；
当y=0时，-x+2=0，解得x=2，则A（2，0），
当x=3时，y=-x+2=-1，则D（3，-1），
∴AD== ,

∵OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠ABO=45°，
∴∠OBC=∠OAD=135°，∠CBH=45°，
∵∠COD=135°，
而∠AOB=90°，
∴∠1+∠2=45°，
∵∠OAB=∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠3，
∴△OBC∽△DAO，

∴=，即= ，解得BC=2,

∵△BCH为等腰直角三角形，
∴CH=BH=BC=2，
∴C（-2，4），
把C（-2，4）代入y=得k=-2×4=-8．
故选：D．