Question

如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x²(x>0)上取点P，在y轴上取点Q，使得以P、O、Q为顶点，且以点Q为直角顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是__________．

Answer

（，），（3，）,（，2），（，）

【解析】

此题应分四种情况考虑：

①∠POQ=∠OAH=60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标；

②∠POQ=∠AOH=30°，此时∠POH=60°，即直线OP：y=x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标．

③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH，由此求得点A的坐标；

④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH，由此求得点A的坐标；

①当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；

由于∠AOH=30°，设A坐标为（a，b），

在直角三角形OAH中，tan∠AOH=tan30°== ，

设直线OA的方程为y=kx，把A的坐标代入得k==，

∴直线OA的解析式： y=x，联立抛物线的解析式，

得：，

解得 ， ；

∴A（，）；

②当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；

易知∠POH=60°，则直线OP：y= x，联立抛物线的解析式，得： ，

解得，；

∴P（，3），即可得A（3，）；

③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；

易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，得：，

解得 ，；

∴P（，3），

∴OP=2，QP=2，

∴OH=OP=2，AH=QP=2，

∴A（2，2）；

④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；

此时直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，得：，

解得 ， ；

∴P（， ），

∴QP=，OP=，

∴OH=QP=，AH=OP=，

∴A（，）．

综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：（，），（3，），（，2），（，）．