Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=2，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E、F，连接DE、BF.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；

（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．

（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点，

∴∠A＝90°，AD＝BC＝2，AB∥DC，OB＝OD，

∴∠OBE＝∠ODF，

在△BOE 和△DOF 中，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO＝FO，

∴四边形 BEDF 是平行四边形；

（2）当四边形 BEDF 是菱形时，BD⊥EF， 设 BE＝x，则 DE＝x，AE＝3﹣x，

在 Rt△ADE 中，DE2＝AD2+AE2，

∴， 解得：，

∵BD⊥EF，

∴