Question

如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC 的垂直平分线交 BC 于点 D，交AC 于点 E．

(1)判断 BE 与△DCE 的外接圆⊙O 的位置关系，并说明理由；

(2)若 BE＝，BD＝1，求△DCE 的外接圆⊙O 的直径．

Answer

（1）见解析；（2）△DCE的外接圆的直径是2．

【解析】

（1）连接OE，由DE是AC的垂直平分线，得到BE=CE，根据等腰三角形的性质得到∠EBC=∠C=30°，由三角形的内角和得到∠BEC=120°，由OE=OC，得到∠OEC=∠C=30°，求得∠BEO=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）根据切割线定理得到BE2=BD•BC，代入数据即可得到结论．

（1）连接OE，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴BE=CE，

∴∠EBC=∠C=30°，

∴∠BEC=120°，

∵OE=OC，

∴∠OEC=∠C=30°，

∴∠BEO=90°，

∴BE是⊙O的切线；

（2）∵BE是⊙O的切线，

∴BE2=BD•BC，

即（）2=1•BC，

∴BC=3，

∴CD=2，

∴△DCE的外接圆的直径是2．