Question

已知抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)(a<0)的顶点为A，与y轴交于点C，过C作CB∥x轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．

(1)当a=﹣2时，求线段OB的长．

(2)是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出计算过程并求出a的值；若不存在，请说明理由．

(3)设△OBD的外心M的坐标为(m，n)，求m与n的数量关系式．

Answer

（1）2 （2）a=﹣1或- （3）m=3n2+2

【解析】

（1）把a=-2代入y=-2（x-1）（x-3）=-2x2+8x-6，解方程得到点C（0，-6），根据勾股定理即可得到结论；
（2）解方程得到C（0，3a），B（4，3a），过A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，根据三角形的中位线的性质得到DG=2AE=-2a，求得BD=DG+BG=-5a，当△OBD为等腰三角形时，①当OB=BD=-5a，②当OD=BD=-5a时，③当OD=OB时，DG=BG，解方程即可得到结果；
（3）根据已知条件得到点M在BD的垂直平分线上，OM=MD，求得n=a，根据勾股定理列方程即可得到结论．

(1)当a=﹣2时，y=﹣2(x﹣1)(x﹣3)=﹣2x2+8x﹣6，

当x=0时，得y=﹣6，

∴点C(0，﹣6)，

当y=﹣6时，即﹣6=﹣2x2+8x﹣6，

解得：x=0，或x=4，

∴点B(4，﹣6)，

∴BC=4，OC=6，

∴OB═ =2 ；

(2)在y═a(x﹣1)(x﹣3)中，令x═0，得y═3a，

∴C(0，3a)，B(4，3a)，

∵点A是抛物线的顶点，

∴A(2，－a)，

过A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，

将BD与x轴的交点记为点G，

则E为OG的中点，

∵AE∥BD，

∴DG=2AE=﹣2a，

∴BD=DG+BG=﹣5a，

当△OBD为等腰三角形时，分类讨论：

①当OB=BD=﹣5a，在Rt△OBC中，BC=﹣4a=4，

∴a=﹣1，

②当OD=BD=﹣5a时，在Rt△ODG中，25a2﹣4a2=16，

∴a=±；∵a<0

∴a=-

③当OD=OB时，DG=BG，但﹣2a≠﹣3a，

   ∴此种情况不可能；

∴a=﹣1或-；

(3)∵BD=DG+BG=﹣5a，

∵点M是△OBD的外心，

∴点M在BD的垂直平分线上，OM=MD，

∴n=a，

∵M(m，n)，D(4，﹣2a)，

∴(﹣a)2+m2=(﹣a)2+(4﹣m)2，

∴8m=6a2+16，

∵n=a，

∴8m=24n2+16，

整理上式，得：m=3n2+2．