Question

    我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β＝180°时，我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”．

（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，“旋补中线”AD与BC的数量关系为：AD＝　   　BC；

②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则“旋补中线”AD长为　   　．

（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明．

Answer

（1）①；②4；（2）AD＝BC．

【解析】

（1）①首先证明△ADB'是含有30°的直角三角形，可得ADAB'即可解决问题；

②首先证明△BAC≌△B'AC'，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；

（2）结论：ADBC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B'M，C'M，首先证明四边形AC'MB'是平行四边形，再证明△BAC≌△AB'M，即可解决问题．

（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=AB'=AC'．

∵DB'=DC'，∴AD⊥B'C'．

∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B'AC'=180°，∴∠B'AC'=120°，∴∠B'=∠C'=30°，∴ADAB'BC．

故答案为：．

②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B'AC'=180°，∴∠B'AC'=∠BAC=90°．

∵AB=AB'，AC=AC'，∴△BAC≌△B'AC'，∴BC=B'C'．

∵B'D=DC'，∴ADB'C'BC=4．

故答案为：4．

（2）结论：ADBC．

理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B'M，C'M．

∵B'D=DC'，AD=DM，∴四边形AC'MB'是平行四边形，∴AC'=B'M=AC．

∵∠BAC+∠B'AC'=180°，∠B'AC'+∠AB'M=180°，∴∠BAC=∠MB'A．

∵AB=AB'，∴△BAC≌△AB'M，∴BC=AM，∴ADBC．