Question

如图,△ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.

(1)证明:△BCD是直角三角形.

(2)求△ABC的面积.

Answer

（1）证明见解析；（2）△ABC的面积为75.

【解析】

（1）由勾股定理逆定理可以证明△BCD是直角三角形；（2）要求△BCD的面积，已知BD的长度，即要求AC的长度，已知CD的长度，即要求AD的长度，设AD＝x，根据勾股定理列方程求解．

（1）证明：∵ CD＝9，BD＝12，

∴ CD2＋BD2＝92＋122＝225，

∵ BC＝15，∴ BC2＝225，

∴ CD2＋BD2＝BC2，

∴ △BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°；

（2）设AD＝x，则AC＝x＋9，

∵ AB＝AC，∴ AB＝x+9，

∵ ∠BDC＝90°，∴ ∠ADB＝90°，

∴ AB2＝AD2＋BD2，

∴ ，

解得：x=，

∴AC=+9=，

∴S△ABC=AC×BD=××12=75，

∴ △ABC的面积为75．