Question

如图，在△ABC和△ADC中，已知AB＝8，∠ACB＝105°，∠B＝45°，且∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠D，则线段CD的长是____．

Answer

8

【解析】

作CE⊥AB于点E，作AF⊥CD于点F，根据已知可以求出∠CAE=30°，从而得到∠DAC =75°，∠DCA=60°,设 BE=CE=a，在RT△CAE中求出BE的值,,由于CF=CE=BE，从而得到AF及DF,从而得到CD的长度.

【解析】
作CE⊥AB于点E，作AF⊥CD于点F，
则∠CED=∠CEB=90°，∠AFD=∠AFC=90°，
∵在△ABC中，∠ACB=105°，∠B=45°，∴∠CAE=30°，∴∠ECA=60°，
∵∠ACB=105°，∠B=45°，且∠ACB=∠BAD，∠B=∠D，
∴∠D=45°，∠BAD=105°，
∴∠DAC=∠BAD-∠CAE=75°，
∴∠DCA=60°，∠CAF=30°
设BE=a，则CE=a，AE=8-a，
∵∠CAE=30°，∠CEA=90°，
∴=tan30°，
解得，a=4（-1），
∴AC=2a=8（-1），
∵∠AFC=90°，∠ACF=60°，
∴CF=4（-1），AF=12-4，
∵∠AFD=90°，∠D=45°，
∴DF=AF=12-4，
∴CD=DF+CF=12-4+4（-1）=8，
故答案为：8．