Question

画图计算：

(1)已知△ABC，请用尺规在图1中△ABC内确定一个点P，使得点P到AB和BC的距离相等，且满足P到点B和点C的距离相等(不写作法，保留作图痕迹)．

(2)如图2，如果点P是(1)中求作的点，点E、F分别在边AB、BC上，且PE＝PF．

①若∠ABC＝60°，求∠EPF的度数；

②若BE＝2，BF＝8，EP＝5，求BP的长．

(3)如图3，如果点P是△ABC内一点，且点P到点B的距离是7，若∠ABC＝45°，请分别在AB、BC上求作两个点M、N，使得△PMN的周长最小(不写作法，保留作图痕迹)，则△PMN的最小值为______.

Answer

(1)见解析；(2)①∠EPF＝120°；②BP＝；(3)7.

【解析】

（1）作∠ABC的平分线BM，线段BC的垂直平分线EF，直线EF交射线BM于点P，点P即为所求；
（2）①由Rt△PME≌Rt△PNF（HL），推出∠EPM=∠FPN，推出∠EPF=∠MPN，即可解决问题；
②由Rt△PMB≌Rt△PNB（HL），推出BM=BN，由Rt△PME≌Rt△PNF（HL），推出EM=FN，推出BE+BF=BM-EM+BN+NF=2BN=10，推出BN=NM=5，再利用勾股定理即可解决问题；
（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN．则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值；

【解析】
(1)如图，点P即为所求；

(2)①连接BP，作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N．

∵BP平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，

∴PM＝PN，

∵PE＝PF，∠PME＝∠PNF＝90°，

∴Rt△PME≌Rt△PNF(HL)，

∴∠EPM＝∠FPN，

∴∠EPF＝∠MPN，

∵∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，

∴∠EPF＝120°．

②∵PB＝PB，PM＝PN，∠PMB＝∠PFB＝90°

∴Rt△PMB≌Rt△PNB(HL)，

∴BM＝BN，

∵Rt△PME≌Rt△PNF(HL)，

∴EM＝FN，

∴BE+BF＝BM﹣EM+BN+NF＝2BN＝10，

∴BN＝NM＝5，

∵BE＝2，PE＝5，

∴EM＝3，PM＝＝4，

∴BP＝＝．

(3)分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN．则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．

∵点E与点P关于AB对称，点F与点P关于BC对称，

∴∠EBA＝∠PBA，∠FBC＝∠PBC，BE＝BF＝BP＝7．

∴EF＝BE＝7

∴△PMN周长的最小值为7．

故答案为7．