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(定义)数学课上,陈老师对我们说,如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形,那...

(定义)数学课上,陈老师对我们说,如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形,那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”,如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”.

(理解)如图,在△ABC中,∠A36°,∠C72°,请你在这个三角形中画出它的“好线”,并标出等腰三角形顶角的度数.

如图,已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形,请你在这个三角形中画出它的“好好线”,并标出所分得的等腰三角形底角的度数.

(应用)

(1)在△ABC中,已知一个内角为42°,若它只有“好线”,请你写出这个三角形最大内角的所有可能值______

(2)在△ABC中,∠C27°,ADDE分别是△ABC的“好好线”,点DBC边上,点EAB边上,且ADDCBEDE,请你根据题意画出示意图,并求∠B的度数.

 

【定义】见解析;【应用】(1)84°或103.5°或124°或117°或126°;(2)画图见解析;∠B=42°或18°. 【解析】 【定义】 如图①,如图②所示,根据题意画出图形即可; 【应用】(1)①如图③当∠B=42°,AD为“好线”,②如图④当∠B=42°,AD为“好线”,③如图⑤当∠ABC=42°时,BD为“好线”,④如图⑥,当∠B=42°时,CD为“好线”,⑤如图⑦,当∠B=42°时,CD为“好线”,根据等腰三角形的性质即可得到结论; (2)设∠B=x°,①当AD=DE时,如图1(a),②当AD=AE时,如图1(b),③当EA=DE时,根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论. 【解析】 (定义)如图①,如图②所示, (应用) (1)①如图③当∠B=42°,AD为“好线”, 则AD=AD=BD,故这个三角形最大内角是∠C=84°; ②如图④当∠B=42°,AD为“好线”, 则AB=AD,AD=CD,这个三角形最大内角是∠BAC=103.5°; ③如图⑤当∠ABC=42°时,BD为“好线”, 则AD=BD,CD=BC,故这个三角形最大内角是∠C=124°, ④如图⑥,当∠B=42°时,CD为“好线”, 则AD=CD=BC,故这个三角形最大内角是∠ACB=117°, ⑤如图⑦,当∠B=42°时,CD为“好线”, 则AD=AC,CD=BD,故这个三角形最大内角是∠ACB=126°, 综上所述,这个三角形最大内角的所有可能值是84°或103.5°或124°或117°或126°, 故答案为:84°或103.5°或124°或117°或126°; (2)设∠B=x°, ①当AD=DE时,如图1(a), ∵AD=CD, ∴∠C=∠CAD=27°, ∵DE=EB, ∴∠B=∠EDB=x° ∴∠AED=∠DAE=2x°, ∴27×2+2x+x=180, ∴x=42, ∴∠B=42°; ②当AD=AE时,如图1(b), ∵AD=CD, ∴∠C=∠CAD=27°, ∵DE=EB, ∴∠B=∠EDB=x° ∴∠AED=∠ADE=2x°, ∴2x+x=27+27, ∴x=18, ∴∠B=18°. ③当EA=DE时, ∵90﹣x+27+27+x=180, ∴x不存在,应舍去. 综合上述:满足条件的x=42°或18°.
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考点分析:
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画图计算:

(1)已知△ABC,请用尺规在图1中△ABC内确定一个点P,使得点PABBC的距离相等,且满足P到点B和点C的距离相等(不写作法,保留作图痕迹)

(2)如图2,如果点P(1)中求作的点,点EF分别在边ABBC上,且PEPF

若∠ABC60°,求∠EPF的度数;

BE2BF8EP5,求BP的长.

(3)如图3,如果点P是△ABC内一点,且点P到点B的距离是7,若∠ABC45°,请分别在ABBC上求作两个点MN,使得△PMN的周长最小(不写作法,保留作图痕迹),则△PMN的最小值为______.

 

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已知两个等腰直角△ABC和△CDE,它们的两个直角顶点BD在直线MN上,过点AE分别作AGMNEFMN,垂足分别为GF

(1)如图1,当△ABC和△CDE在△BCD的外部时,请你探索线段EFDBAG之间的数量关系,其数量关系为______

(2)如图2,将图1中的△ABC沿BC翻折,其他条件不变,那么(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请你给出证明,若不成立,请探索它们的数量关系,并说明理由.

 

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在等腰△ABC中,已知ABACBDACD

(1)若∠A48°,求∠CBD的度数;

(2)BC15BD12,求AB的长.

 

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如图,在长度为1个单位的小正方形组成的正方形网格中,点ABC在小正方形的顶点上.

(1)在图中画出与△ABC关于直线MN成轴对称的△A1B1C1(不写画法)

(2)请你判断△ABC的形状,并求出AC边上的高.

 

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如图,点E在线段AC上,BCDEACDECBCE,求证:∠A=∠D

 

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