Question

如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号.已知A、B两船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.

(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）.

(2)已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）

Answer

（1）A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（3﹣）海里；（2）巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险．

【解析】

(1)作CE⊥AB于点E，则∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AEtan60°，在Rt△BCE中，BE=CE=x，由AE+BE=x+x=100(3+)求出x的值，再根据AC=2x得出AC的值，在△ACD中，由∠DAC=60°，∠ADC=75°得出∠ACD=45°．过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=y，根据AC=y+y=200求出y的值，故可得出AD的长，进而得出结论；

(2)根据(1)中的结论得出DF的长，再与200相比较即可．

(1)作CE⊥AB于点E，则∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，

∵在Rt△AEC中，CE=AEtan60°=x，

在Rt△BCE中，BE=CE=x，

∴AE+BE=x+x=100(3+)，解得x=100，

∴AC=2x=200，

在△ACD中，

∵∠DAC=60°，∠ADC=75°，

∴∠ACD=45°．

过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=y，

∴AC=y+y=200，解得y=100(3﹣)，

∴AD=2y=200(3﹣)．

答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200(3﹣)海里；

(2)∵由(1)可知，DF=AF=×100(3﹣)≈219，

∵219＞200，

∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险．