Question

如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm²，求AC的长

Answer

4

【解析】

过A作AE⊥BC，作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，利用三个角为直角的四边形为矩形得到AECF为矩形，利用矩形得四个角为直角得到∠EAF为直角，利用等式的性质得到∠DAF=∠BAE，再由一对直角相等，AB=AD，利用AAS得到三角形ABE与三角形ADF全等，利用全等三角形的对应边相等得到AE=AF，可得出AECF为正方形，三角形ABE面积与三角形AFD面积相等，进而得到四边形ABCD面积等于正方形AECF面积，求出正方形的边长即为AE的长，在等腰直角三角形ACE中，利用勾股定理即可求出AC的长．

【解析】
过A作AE⊥BC，作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，

∵∠AEC=∠AFC=∠ECF=90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠EAF=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠FAD+∠EAD=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF，S△ABE=S△ADF，
∴四边形AECF是正方形，
∴S四边形ABCD=S正方形AECF=24cm2，
∴AE=2cm，
∵△AEC为等腰直角三角形，
∴AC=AE=4cm．
故答案为：4．