Question

如图，抛物线的顶点为，对称轴为直线，且经过点，与轴交于点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断的形状，并说明理由；

（3）经过点的直线交抛物线于点，交轴于点，若，试求出点的坐标.

Answer

（1）；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3）点P的坐标为、、或

【解析】

（1）利用待定系数法，联立方程组即可解得；（2）利用解析式，可得B（0,2），C（1,3），再由A（3，-1），求出AB,AC,BC ，利用勾股定理的逆定理即可得出结果；（3）分两种情况讨论：当点Q在线段AP上时，当点Q在PA延长线上时，可得点P的坐标.

本题解析：

(1)由题意得：， 解得：

∴抛物线的解析式为

（2）由得：当时，y=2.，∴，由得，

∵A(3,－1)，∴,∴

∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形.

（3）①如图，当点Q在线段AP上时，过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D

∵,∴PA=2AQ，∴PQ=AQ

∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD,

∴,∴PE=AD=1

由得：

∴P或

②如图，当点Q在PA延长线上时，过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D

∵,∴PA=2AQ，∴PQ=3AQ

∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD,

∴,∴PE=3AD=3

由得：，∴P或.

综上可知：点P的坐标为、、或