Question

如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG²+FH²=______.

Answer

36。

【解析】

连接EF，FG，GH，EH，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，得到EH，EF，FG，GH分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线，根据三角形中位线定理得到EH，FG等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC=BD=6，得到EH=EF=GH=FG=3，根据四边都相等的四边形是菱形，得到EFGH为菱形，然后根据菱形的性质得到EG⊥HF，且EG=2OE，FH=2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得到OE2+OH2=EH2=9，再根据等式的性质，在等式的两边同时乘以4，根据4=22，把等式进行变形，并把EG=2OE，FH=2OH代入变形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值

如图，连接EF，FG，GH，EH，

∵E、H分别是AB、DA的中点，

∴EH是△ABD的中位线，

∴EH=BD=3，

同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，

∴EF=GH=AC=3，FG=BD=3，

∴EH=EF=GH=FG=3，

∴四边形EFGH为菱形，

∴EG⊥HF，且垂足为O，

∴EG=2OE，FH=2OH，

在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9，

等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36，

∴（2OE）2+（2OH）2=36，

即EG2+FH2=36．

故答案为：36．