Question

如图，己知AB是⊙O的直径，AC是弦，点P是BA延长线上一点，连接PC，BC．∠PCA=∠B．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若PC=6，PA=4，求直径AB的长．

Answer

（1）证明见解析 （2）5

【解析】

（1）连接OC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠1+∠2=90°，由等腰三角形的性质及等式性质得出∠PCA=∠2，因此∠1+∠PCA=90°，即PC⊥OC，即可得出结论；

（2）由∠P=∠P，∠PCA=∠B，得到△PCA∽△PBC，再由相似三角形的性质得出PC2=PA•PB，求出PB，即可得出直径AB的长．

（1）连接OC，如图所示：

∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠2=90°．

∵OB=OC，∴∠2=∠B．

又∵∠PCA=∠B，∴∠PCA=∠2，∴∠1+∠PCA=90°，即PC⊥OC，∴PC是⊙O的切线；

（2）∵∠P=∠P，∠PCA=∠B，∴△PCA∽△PBC，∴PC：PB=PA：PC，∴PC2=PA•PB，∴62=4×PB，解得：PB=9，∴AB=PB﹣PA=9﹣4=5．