Question

观察下列各式：

(a－1)(a＋1)＝a²－1；

(a－1)(a²＋a＋1)＝a³－1；

(a－1)(a³＋a²＋a＋1)＝a⁴－1；

(a－1)(a⁴＋a³＋a²＋a＋1)＝a⁵－1；

……

(1)根据上面的规律填空：

①(a－1)(__________________________)＝a¹⁰－1；

②(a－1)(aⁿ＋a^n-1＋a^n-2＋…＋a＋1)等于多少；

(2)计算：2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ.(n为正整数)

Answer

（1）①a9＋a8＋a7＋…＋a＋1， ②an＋1－1；(2) 2n＋1－2.

【解析】

（1）①类比题目中所给的方法解答即可；②类比题目中所给的方法解答即可；（2）令a＝2，代入（1）②中的式子求解即可.

（1）①a9＋a8＋a7＋…＋a＋1，

②(a－1)(an＋an-1＋an-2＋…＋a＋1)=an＋1－1；

(2)在(a－1)(an＋an－1＋an－2＋…＋a＋1)＝an＋1－1中令a＝2，

可得（2-1）（2n＋2n－1＋2n－2＋…＋2＋1）＝2n＋1－1，

即2n＋2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n＋1－1，

∴2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2.