Question

如图所示，已知抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴相交于A、B两点，且点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C，对称轴直线x＝2与x轴相交于点D，点P是抛物线对称轴上的一个动点，以每秒1个单位长度的速度从抛物线的顶点E向下运动，设点P运动的时间为t（s）．

（1）点B的坐标为　   　，抛物线的解析式是　   　；

（2）求当t为何值时，△PAC的周长最小？

（3）当t为何值时，△PAC是以AC为腰的等腰三角形？

Answer

（1）（3，0），y＝﹣x2+4x﹣3；（2）t＝2；（3）t＝4或4+或4﹣.

【解析】

（1）把A点坐标与对称轴x=1代入解析式即可求出b，c的值，即可求出解析式,故求出B点坐标；（2）由图可知，AC是定长，故只要求出PA+PC最小时，则△PAC的周长最小，又点A关于对称轴x=2的对称点是点B，故连接BC与抛物线对称轴的交点即为P点，此时PA+PC最小，则求出直线BC的解析式与x=2的交点即为P点坐标继而求出t的值；（3）根据AC为腰可分两种情况，①CP＝AC，可作图，根据AC＝CP＝，CF＝2，利用勾股定理可求出PF的长，继而求出时间t，注意还要要分两种情况，②AC＝AP，可作图，利用Rt△OAC≌Rt△DAP，得出DP=CO=3，故而求出EP的长，即可求出时间t.

【解析】
（1）根据题意得：

解得：b＝4，c＝﹣3

∴抛物线解析式y＝﹣x2+4x﹣3

当y＝0时，0＝﹣x2+4x﹣3

∴x1＝1，x2＝3

∴点B（3，0）

故答案为：（3，0），y＝﹣x2+4x﹣3

（2）如图：

∵△PAC的周长＝AC+PA+PC

且AC是定长，

∴PA+PC最小时，△PAC的周长最小

∵点A，点B关于对称轴直线x＝2对称

∴连接BC交对称轴直线x＝2于点P

∵y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C，点E为抛物线的顶点

∴点C（0，﹣3），点E（2，1）

∴OC＝3，点D（2，0）即DE＝1

∵点B（3，0），点C（0，﹣3）

∴直线BC解析式：y＝x﹣3

当x＝2时，y＝﹣1

∴点P（2，﹣1）

∴t＝＝2

（3）若CP＝AC时，如图：过点C作CF⊥ED于点F

∵点A（1，0），点C（0，﹣3）

∴OA＝1，OC＝3

∵AC＝＝

∵CF⊥DE，DE⊥OD，OC⊥OD

∴四边形ODFC是矩形

∴CF＝OD＝2，DF＝OC＝3

∵AC＝CP＝，CF＝2

∴PF＝＝

∴DP＝3±

∴EP＝4±

∴t1＝＝4+，t2＝＝4﹣

若点AC＝AP时，如图

∵点A（1，0），点D（2，0）

∴OA＝AD＝1，且AC＝AP

∴Rt△OAC≌Rt△DAP（HL）

∴OC＝DP＝3

∴EP＝4

∴t＝＝4

综上所述：t＝4或4+或4﹣.