Question

在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点．已知点A₁的伴随点为A₂，点A₂的伴随点为A₃，点A₃的伴随点为A₄，…，这样依次得到点A₁，A₂，A₃，…，A_n，….若点A₁的坐标为(3，1)，则点A₂的坐标为__________，点A_{2 019}的坐标为__________；若点A₁的坐标为(a，b)，对于任意的正整数n，点A_n均在x轴上方，则a，b应满足的条件为_______________．

Answer

(0，4) (－3，1) －1＜a＜1且0＜b＜2

【解析】

根据伴随点的定义，计算出A2的坐标，罗列出部分点A的坐标，根据点A的变化找出规律即可求出A2019的坐标；根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．

∵A1的坐标为（3，1），

∴A2（0，4），A3（-3，1），A4（0，-2），A5（3，1），

…，

依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，

∴2019÷4=504……3，

∴A2019的坐标为（-3，1）.

（3）∵点A1的坐标为（a，b），

∴A2（-b+1，a+1），A3（-a，-b+2），A4（b-1，-a+1），A5（a，b），

…，

依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，

∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，

∴且

解得-1＜a＜1，0＜b＜2．

故答案为：（0，4）；（-3，1）；-1＜a＜1且0＜b＜2