Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB．

（1）求∠ADE的度数；

（2）求证：DE=AD+DC；

Answer

（1）60°；（2）见解析

【解析】

试题（1）△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠ABC=∠ACB=75°，由DB=DC，∠DCB=30°，根据等腰三角形的性质再求得∠DBC=∠DCB=30°，即可得∠ABD=45°，易证AD所在直线垂直平分BC，根据等腰三角形的三线合一的性质可得AD平分∠BAC，即可求得∠BAD=15°，利用三角形外角的性质即可求得∠ADE=60°；（2）如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM，证明△ABD≌△AEM，根据全等三角形的对应边相等和线段的和差即可证得结论.

试题解析：

（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，

∴∠ABC=∠ACB==75°，∵DB=DC，∠DCB=30°，∴∠DBC=∠DCB=30°，

∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=45°，∵AB=AC，DB=DC，∴AD所在直线垂直平分BC，

∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=15°，∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；

（2）如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM，

∵∠ADE=60°，DM=AD，

∴△ADM是等边三角形，∴∠ADB=∠AME=120°

∵AE=AB，∴∠ABD=∠E，

在△ABD和△AEM中，

∠ADB=∠AME，∠ABD=∠E，AB=AE，

∴△ABD≌△AEM（AAS），

∴BD=ME，∵BD=CD，∴CD=ME，

∵DE=DM+ME，∴DE=AD+CD.