Question

若一个整数能表示成a²+b²(a、b都是整数)的形式，则称这个数为完美数..例如，5是完美数，因为5=2²+1².再如，M=x²+2xy+2y²=(x+y)²+y²(x，y都是整数)，所以M也是完美数．

  (1)请你再写出一个小于10的完美数，并判断29是否为完美数；

  (2)已知S=x²+4y²+4x−12y+k(x、y都是整数，k是常数)，要使S为完美数，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；

  (3)如果A，B都是完美数，试说明A×B也是完美数.

Answer

（1）8=22+22,29=22+52，29是完美数；（2）k=13；（3）A×B= (ac+bd)2×(cb+ab)2

【解析】

（1）利用“完美数”的定义可得；
（2）利用配方法，将S配成完美数，可求k的值
（3）根据完全平方公式，可证明A×B是“完美数”；

（1）例如8=22+22,29=22+52，所以29是完美数；

（2））∵S=x2+4y2+4x-12y+k=（x+2）2+（2y-3）2+k-13
∴k=13时，S是完美数

即：k=13

（3）设A=a2+b2,B=c2+d2,

A×B=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+4abcd-4abcd

=(ac+bd)2×(cb+ab)2

∴A×B也是完美数.