Question

如图：两个等边三角形△ABD与△BCE，连结AE与CD，

求证：（1）AE=CD;

（2）AE与DC之间的夹角为60°;

（3）AE与CD的交点设为H,BH平分∠AHC.

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质，易证△BCD≌△BEA，即可证得AE=CD；

（2）延长AE交CD于H，交BD于O,在△ODH和△AOB中，根据“8” 字形即可证明；

（3）过B作BM⊥CD于点M,过B作BN⊥AH于点N,证明△AMN≌△DBM，得出 BM=BN,即可通过角平分线的判定证明.

(1)∵等边三角形ABD和等边三角形BCE

∴∠ABD=∠CBE=60°,AB=BD,BE=BC，∠ABD-∠EBD=∠CBE-∠EBD,即∠ABE=∠DBC，

∴△BCD≌△BEA,

∴AE=DC

(2)延长AE交CD于H，交BD于O,在△ODH和△AOB中，

∵△BCD≌△BEA,

∴∠HDO=∠OAB,

又∵∠DOH=∠AOB,根据三角形内角和是180°，

∴∠DHO=∠ABO=60°

(3)过B作BM⊥CD交CD的延长线于点M,过B作BN⊥AH于点N,

∴∠BNA=∠BMD=90°，

∵△BCD≌△BEA,

∴AB=DB, ∠BAN=∠BDM

∴△AMN≌△DBM

∴BM=BN,

∴BH平分∠AHC.