Question

如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．

（1）求证：∠CAD=∠BDC；

（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）CD=2．

【解析】（1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；

（2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长．

详（1）证明：连接OD，如图所示．

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB．

∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，

∴∠ODB+∠BDC=90°．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠OBD+∠CAD=90°，

∴∠CAD=∠BDC．

（2）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，

∴△CDB∽△CAD，

∴．

∵BD=AD，

∴，

∴，

又∵AC=3，

∴CD=2．