Question

下面从认知、延伸、应用三个层面来研究一种几何模型．

（认知）

如图1，已知点E是线段BC上一点，若求证：∽．

（延伸）

如图2，已知点E、F是线段BC上两点，AE与DF交于点H，若求证：∽．

（应用）

如图3，是等边的外接圆，点D是上一点，连接BD并延长交AC的延长线于点E；连接CD并延长交AB的延长线于点猜想BF、BC、CE三线段的关系，并说明理由．

Answer

【认知】：详见解析；【延伸】：详见解析；【应用】：，证明详见解析.

【解析】

认知：由∠AEC=∠A+∠B=∠AED+∠DEC，结合∠B=∠AED知∠A=∠DEC，再由∠B=∠C即可得证；延伸：由∠HFE+∠FHE=∠A+∠B，由∠B=∠AHD=∠FHE知∠A=∠HFE，再由∠B=∠C即可得证△ABE∽△FCD；应用：由∠BDC+∠A=180°及∠A=60°知∠BDC=∠FDE=120°，由∠ABC=∠ACB=60°知∠FBC=∠ECB=∠FDE=120°，与“延伸”解答过程同理可证△FBC∽△BCE得，，从而得出答案．

【解析】
【认知】

证明：是的外角，

，

又，

，

，

，

又，

∽．

【延伸】

证明：是的外角，

，

是的外角，

，

，

，，

，

，

，

∽．

【应用】

猜想：，

证明：四边形ABDC是的内接四边形，

，

是等边三角形，

，

，

是的外角，

，

，

，

，

，

，

，

又，

∽，

，

．