Question

如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，点D为AB边上一动点，若AD的长度为m，且m的范围为0＜m＜9，在AC与BC边上分别取两点E、F，满足ED⊥AB，FE⊥ED．

（1）求DE的长度；（用含m的代数式表示）

（2）求EF的长度；（用含m的代数式表示）

（3）请根据m的不同取值，探索过D、E、F三点的圆与△ABC三边交点的个数．

Answer

(1);(2) 25－; (3)见解析.

【解析】

(1)先证△ADE∽△ACB，得到=，代入即可得到DE=；

(2)由勾股定理得到AE=，利用两个角相等的两个三角形相似得到△ADE∽△ECF，利用相似三角形对应边成比例，得到＝，代入即可得到EF＝25-；

(3)先分别求出过D、E、F三点的⊙O与AC和BC相切时m=和m=，再分0＜m＜，m=，＜m＜，m=，＜m＜9，五种情况进行说明.

【解析】
(1)∵ED⊥AB，∴∠EDA＝90°，∴∠EDA＝∠C＝90°，

∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，

∴＝，∴＝，

∴DE＝；

(2)在RT△ADE中，

AE==，

∵ED⊥AB，FE⊥ED

∴∠EDA＝∠DEF＝90°，

∴EF∥AB，

∴∠A＝∠CEF，

又∵∠EDA＝∠C，

∴△ADE∽△ECF，

∴＝，∴m:(15-)＝:EF，

∴EF＝25-.

(3)当ED:EF=3:4，⊙O与AC相切于点E，

:(25-)=3:4，m＝，

当ED：EF=4:3，⊙O与BC相切于点F，

:(25－)=4:3，m＝，

情况一：当0＜m＜时，⊙O与△ABC有六个交点；

情况二：当m＝时，⊙O与△ABC有五个交点；

情况三：当＜m＜时，⊙O与△ABC有六个交点；

情况四：当m＝时，⊙O与△ABC有五个交点；

情况五：当＜m＜9时，⊙O与△ABC有六个交点.

故答案为：(1);(2) 25－; (3)见解析.